Sitemizde 15 kategori'de 769 adet yazı yazılmış ve 227 yorum bulunmaktadır.

Eyl 272016
 

olasilik-kurami

Olasılık kuramı rastgele olayların analizi ile ilgilenen bir matematik bilim dalıdır. Olasılık kuramının ana öğeleri rassal değişkenler, saf rassal süreçler, olaylar olarak sayılabilir. Bunlar ya tek olarak ortaya çıkan veya bir zaman dönemi içinde gelişerek meydana gelen, ilk görünüşü rastgele bir şekilde olan deterministik olmayan olayların veya ölçülebilir miktarların matematiksel soyutlamalarıdır.

Bir madeni parayı yazı-tura denemesi için havaya atmak, veya bir zarı atmak ile ortaya çıkan sonuç ilk bakışta rastgele bir olay olarak görülebilirse bile eğer birbirini takip eden rastgele olaylar tekrar tekrar ortaya çıkartılırsa, incelenebilecek ve tahmin edilebilecek belirli bir istatistiksel seyir takip ettikleri görülecektir. Bu türlü olaylar ve sonuçların seyirlerini betimleyen iki temsilci matematiksel sonuc büyük sayılar yasası ve merkezsel limit teoremidir.

İstatistik bilim dalının matematiksel temelini oluşturan olasılık kuramı, büyük veri serilerinin niceliksel analizini gerektiren birçok insan faaliyetinin incelenebilmesi ve anlanabilmesi için temel esasları oluşturur. Bunun yaninda, olasılık kuramının yöntemleri, durumları hakkında sadece kısımsal bilgimiz olabilecek karmaşık sistemlerin tanımlanmasına da uygulanabilir; (örneğin istatistiksel mekanik). Yirminci yüzyılda fizik biliminde en büyük buluşlardan biri, atomik düzeyde fiziksel olayların tabiatının olasılıklı olduğu ve bunların kuantum mekanik bilgisi ile açıklanıp, incelenip, kullanılabileceğidir.

Matematiksel olasılık kuramının tarihsel kökleri 16. yüzyılda Gerolamo Cardano ve 17. yüzyılda Pierre de Fermat ile Blaise Pascal tarafından yapılan şans oyunlarınınmatematiksel incelemelerine dayanır.

olasilik-kuramiBaşlangıçta, olasılık kuramı genellikle ayrık olayları incelemek için geliştirilmiş ve kullanılan yöntemler genellikle tümleşik matematik kurallarına dayandırılmıştır. Fakat giderek matematik analiz görüşleri daha ağır basarak olasılık kuramına sürekli değişkenlerin incelenmesinin de katılması gerekmiştir.

Bu gelişmenin şu andaki en son aşamasının temelleri, Andrey Nikolaevich Kolmogorov tarafından, ölçüm kuramına bağlantılı olan modern olasılık kuramı olarak ortaya çıkartılmıştır. Kolmogorov, Richard von Mises tarafından ortaya atılan örnek uzay kavramlarını ölçüm kuramı kavramları ile birleştirerek 1933’te modern olasılık kuramı için esas olan Kolmogorov aksiyomlarını ortaya atmıştır. Bu gelişme bilim camiası tarafından çabucak, hiç karşı çıkan kuram olmadan, modern olasılık kuramının ana aksiyom sistemi olarak benimsenmiştir.

Olasılık kuramına girişlerin çoğunda, ayrık olasılık dağılımları ve sürekli olasılık dağılımları ayrı ayrı olarak incelemeye alınmaktadır. Halbuki olasılığın daha ileri matematiksel yaklaşımla incelenmesinin, hem ayrık, hem sürekli ve hem de bunların karışığı ve daha ilerisinde olan dağılımların hep birlikte yapılmasını gerektirmektedir.

Ayrık olasılık kuramı sayılabilir örneklem uzayında ortaya çıkan olayları inceler. Örnegin: Zar atılması, küp deneyleri, iskambil kartlarını çekmek veya rastgale yürüyüş olayları.

Klasik tanım: Olasılık kuramı geliştirilmesinin ilk safhalarında, belirtilmiş bir olay ortaya çıkması için olasılık, her mümkün sonucu eşit olasılıklı olan örneklem uzayında incelendiği kabul edilmiş ve incelenen olaya uygun sonuç sayısının toplam tüm sonuçlar sayısına oranı olarak tanımlanmıştı. Örnegin, incelenecek sorun “tek bir zar atılınca çift sayıların gelme olasılığı nedir” şeklinde sorulursun. Zar yansiz olup her altı yüzü de eşit olasılıkla gelebileceği için, 2, 4, 6 sonuçları 3 tane olduğu ve toplam mümkün sonuç sayısı 6 yüze dayanarak 6 olduğu icin, aranan olasılık

P( 2 veya 4 veya 6 ) =   {\displaystyle {\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{2}}}

olarak bulunur.

Modern tanım: Modern tanıma örneklem uzayı adı verilen bir set ile başlanır; bu klasik tanımda kullanılan mümkün tüm sonuçlar seti ile aynı anlamlıdır; ve şu notasyon kullanılarak ifade edilir: {\displaystyle \Omega =\left\{x_{1},x_{2},\dots \right\}} Sonra, {\displaystyle x\in \Omega \,} çinde bulunan her matematik elemana bir olasılık değeri {\displaystyle f(x)\,} bağlı olduğu varsayılır ve bu olasılık değerinin şu özellikler bulunduğu kabul edilir:


  1. {\displaystyle f(x)\in [0,1]{\mbox{ butun }}x\in \Omega \,;}
  2. {\displaystyle \sum _{x\in \Omega }f(x)=1\,.}

Bu demektir ki olasılık fonksiyonu olan f(x) Ω örneklem uzayında bulunan her x değeri için 0 ile 1 arasında bulunmaktadır ve x için tüm mümkün değerler için f(x) değerlerinin toplamı tama tam (1’e) eşit olur. Bir olay {\displaystyle \Omega \,}örneklem uzayının herhangi bir {\displaystyle E\,} altseti olarak tanımlanır. {\displaystyle E\,} olayının ‘olasılık değeri ise şöyle tanımlanır:

{\displaystyle P(E)=\sum _{x\in E}f(x)\,.}

Buna göre tüm örneklem uzayının olasılığı 1e eşittir ve boş örneklem uzayı veya 0 olay için de olasılık a eşit olur.

Örneklem uzayındaki bir noktayı “olasılık” değerine eşleyen fonksiyona, yani {\displaystyle f(x)\,} fonksiyonuna, olasılık kütle fonksiyonu adı verilir. Modern tanım olasılık kütle fonksiyonunun nasıl ortaya çıktığını açıklayan bir kuram yaratmaz; sadece bu fonksiyonların varolduğunu kabul eden bir kuram ortaya çıkartır.

Sürekli olasılık kuramı sürekli örneklem uzayında ortaya çıkan olayları inceler.

Klasik tanım: Sürekli olasılık halleri ile karşılaşınca klasik tanım geçerli olmaz. Bernard’in paradoksu maddesine bakin.

 

Belirli bir olay A için olasılık {\displaystyle \textstyle \mathbb {P} (A)} 0 ile 1 arasında değişen bir sayı ile temsil edilir. Hiç olanaksız bir olay için olasılık 0 olur ve kesinlikle olacak bir olayın olasılığı 1 olur. Bazı istatistikçiler bu uçsal olasılık değerlerinin sadece teorik olduğunu iddia etmektedirler çünkü kabul ettikleri olasılık açıklaması deneylemelerle limitte göresel çokluluk (relatif frekans) değerine dayanır. Diğer Bayes-tipi, özellikle subjektif, olasılık açıklamasına göre bu uçsal olasılık değerlerini sübjektif olarak düşünmek ve olaylara bu değerleri koymak imkân dahilindedir.

olasilik-kurami

Bazı rassal değişkenler olasılık kuramı içinde daha sık olarak isimleri geçmektedir; çünkü bu değişkenler birçok doğal veya fiziksel süreçleri belirlemektedirler veya özellikle çıkarımsal istatistikte çok öneme haizdirler. Bunun için bu tür değişkenler için olasılık dağılımları olasılık kuramı içinde özel önem taşımaktadırlar.

Temel ayrık olasılık dağılımları listesi şöyle verilebilir:

  • Ayrık tekdüze dağılım
  • Bernoulli dağılımı
  • Binom dağılımı
  • Negatif binom dağılımı
  • Poisson dağılımı
  • Geometrik dağılım
  • Hipergeometrik dağılım

Temel sürekli olasılık dağılımları listesi şöyle verilebilir:

  • Sürekli tekdüze dağılım
  • Normal dağılım
  • Student’in t dağılımı
  • F-dağılımı
  • Ki-kare dağılımı
  • Üstel dağılım
  • Beta dağılımı
  • Gamma dağılımı

Büyük Sayılar Yasası

Yaygın olan bir sezgiye göre eğer yansiz olan bir madeni para birkaç kere havaya atılıp yazı-tura sonuçları kayıt edilirse, sonuçların kabaca yarısı yazı olacak ve kalan yarısı da tura olacaktır. Üstelik, madeni parayi daha da çok defa havaya atıp sonuç kayit edildikçe giderek yazı sonuçları sayısının tura sonuçları sayısına oranının gittikçe daha çok bire yaklaştığı gözümlenecektir.

Bu sezgi ile geliştirilen bu düşünce prensibine istatistik bilimde daha formel bir şekil verilmekte ve bunu büyük sayılar yasası olarak isimlendirilmektedir. Bu dikkate değerdir; çünkü bu yasa olasılık kuramının hiçbir yerinde, bu kuramın temel taşdır şeklinde bir bahis görmemektedir; fakat bu yasa olasılık kuramı temelinden bir teorem olarak geliştirilip ortaya çıkarılmaktadır. Bununla beraber, teorik olarak elde edilen olasılıkları, pratik reel hallerde gerçek olarak ortaya çıkan çokluklara (frekanslara) bağladığı için, bu yasa istatistik kuramının tarihinin içinde çok önemli bir orta direk taşı olarak kabul edilmektedir.

Basitçe anlatım için alttaki videoları izleyiniz

Social Media Exchange Website - Likenation

Bunlara Baktınızmı?

Adnan DAN on FacebookAdnan DAN on PinterestAdnan DAN on TwitterAdnan DAN on Youtube
Adnan DAN
Aslında çokta özel biri değilim.. Biraz ukala olduğumu söylerler.. Bildiğimi anlayabilen insanlara sunmayı severim..

Sürekli sorgulama modundayım.. Neden dünyadayız, nereye gideceğiz, bu kadar basitmi yaşamak, vs. vs.. Cevaplarını bulamadığım onlarca sorum var..

Gerçekten dost bildiğim insanların sayısı bir elimin parmaklarının sayısını geçmez.. Onlarca insan arasında kendimi hep yanlız hissederim..

Ben insanım.. Adımı Adnan koymuşlar, soyadımsa zaten otomatik olarak eklenmiş DAN olarak.. Kuralları sevmem.. Ama uymak zorunda olduğumuda bilirim.. Sevmediğim öyle çok şey yapıyorumki, bu bana mutsuzluk veriyor çok zaman.. Birini sevmeyi, aşık olmayı, ona güvenmeyi çok istiyorum.. Olmayınca olmuyor, zorlamıyorum.. Hayat garip.. Ben o gariplik içinde yüzen biriyim işte..

Düşünceleriniz Bizim İçin Önemlidir